Unique Binary Search Trees

描述

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example, Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析

如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

 1       1           2          3       3
  \       \         / \        /       /
   3       2       1   3      2       1
  /         \                /         \
2            3              1           2

比如，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 1 个元素的树，右子树也是 1 个元素的树。依此类推。

当数组为 1,2,3,...,n时，基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性： \textbf{以 i 为根节点的树，其左子树由[1, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。}

定义f(i)为以[1,i]能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目，则

如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f(0)=1。

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种 BST，单个节点，f(1)=1。

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能

1             2
  \          /
    2      1

$f(2) = f(0) * f(1) \text{ , when 1 as root}$

$+ f(1) * f(0) \text{ , when 2 as root}$

再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：

$f(3) = f(0) * f(2) \text{ , when 1 as root}$

$+ f(1) * f(1) \text{ , when 2 as root}$

$+ f(2) * f(0) \text{ , when 3 as root}$

所以，由此观察，可以得出f的递推公式为

$f(i) = \sum_{k=1}^{i} f(k-1) \times f(i-k)$

至此，问题划归为一维动态规划。

代码

Java

// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];

        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= i; ++k)
                f[i] += f[k-1] * f[i - k];
        }

        return f[n];
    }
}

C++

// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n + 1, 0);

        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= i; ++k)
                f[i] += f[k-1] * f[i - k];
        }

        return f[n];
    }
};

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