Median of Two Sorted Arrays

描述

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元素中第k大的元素。

O(m+n)的解法比较直观，直接 merge 两个数组，然后求第k大的元素。

不过我们仅仅需要第k大的元素，是不需要“排序”这么昂贵的操作的。可以用一个计数器，记录当前已经找到第m大的元素了。同时我们使用两个指针pA和pB，分别指向 A 和 B 数组的第一个元素，使用类似于 merge sort 的原理，如果数组 A 当前元素小，那么pA++，同时m++；如果数组 B 当前元素小，那么pB++，同时m++。最终当m等于k的时候，就得到了我们的答案，O(k)时间，O(1)空间。但是，当k很接近m+n的时候，这个方法还是O(m+n)的。

有没有更好的方案呢？我们可以考虑从k入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第k大元素之前的元素，那么我们需要进行k次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于 A 和 B 都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。

假设 A 和 B 的元素个数都大于k/2，我们将 A 的第k/2个元素（即A[k/2-1]）和 B 的第k/2个元素（即B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设k为偶数，所得到的结论对于k是奇数也是成立的）：

• A[k/2-1] == B[k/2-1]
• A[k/2-1] > B[k/2-1]
• A[k/2-1] < B[k/2-1]

如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着A[0]到A[k/2-1]的肯定在$A \cup B$的 top k 元素的范围内，换句话说，A[k/2-1]不可能大于$A \cup B$的第k大元素。留给读者证明。

因此，我们可以放心的删除 A 数组的这k/2个元素。同理，当A[k/2-1] > B[k/2-1]时，可以删除 B 数组的k/2个元素。

当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2-1]或B[k/2-1]即可。

因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？

• 当 A 或 B 是空时，直接返回B[k-1]或A[k-1]；
• 当k=1是，返回min(A[0], B[0])；
• 当A[k/2-1] == B[k/2-1]时，返回A[k/2-1]或B[k/2-1]

代码

Python

// Median of Two Sorted Arrays
// Time Complexity: O(log(m+n))，Space Complexity: O(log(m+n))
public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(final int[] A, final int[] B) {
        int total = A.length + B.length;
        if (total %2 == 1)
            return findKth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1);
        else
            return (findKth(A, 0, B, 0, total / 2)
                    + findKth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1)) / 2.0;
    }

    private static int findKth(final int[] A, int ai, final int[] B, int bi, int k) {
        //always assume that A is shorter than B
        if (A.length - ai > B.length - bi) {
            return findKth(B, bi, A, ai, k);
        }
        if (A.length - ai == 0) return B[bi + k - 1];
        if (k == 1) return Math.min(A[ai], B[bi]);

        //divide k into two parts
        int k1 = Math.min(k / 2, A.length - ai), k2 = k - k1;
        if (A[ai + k1 - 1] < B[bi + k2 - 1])
            return findKth(A, ai + k1, B, bi, k - k1);
        else if (A[ai + k1 - 1] > B[bi + k2 - 1])
            return findKth(A, ai, B, bi + k2, k - k2);
        else
            return A[ai + k1 - 1];
    }
};

Java

// Median of Two Sorted Arrays
// Time Complexity: O(log(m+n))，Space Complexity: O(log(m+n))
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B) {
        int total = A.size() + B.size();
        if (total %2 == 1)
            return find_kth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1);
        else
            return (find_kth(A, 0, B, 0, total / 2)
                    + find_kth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1)) / 2.0;
    }
private:
    static int find_kth(const vector<int>& A, int ai, const vector<int>& B, int bi, int k) {
        //always assume that A is shorter than B
        if (A.size() - ai > B.size() - bi) {
            return find_kth(B, bi, A, ai, k);
        }
        if (A.size() - ai == 0) return B[bi + k - 1];
        if (k == 1) return min(A[ai], B[bi]);

        //divide k into two parts
        int k1 = min(k / 2, (int)A.size() - ai), k2 = k - k1;
        if (A[ai + k1 - 1] < B[bi + k2 - 1])
            return find_kth(A, ai + k1, B, bi, k - k1);
        else if (A[ai + k1 - 1] > B[bi + k2 - 1])
            return find_kth(A, ai, B, bi + k2, k - k2);
        else
            return A[ai + k1 - 1];
    }
};

C++

# Median of Two Sorted Arrays
# Time Complexity: O(log(m+n))，Space Complexity: O(log(m+n))
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, A: list[int], B: list[int]) -> float:
        total = len(A) + len(B)
        if total % 2 == 1:
            return self.findKth(A, 0, B, 0, total // 2 + 1)
        else:
            return (self.findKth(A, 0, B, 0, total // 2)
                    + self.findKth(A, 0, B, 0, total // 2 + 1)) / 2.0

    def findKth(self, A: list[int], ai: int, B: list[int], bi: int, k: int) -> int:
        #always assume that A is shorter than B
        if len(A) - ai > len(B) - bi:
            return self.findKth(B, bi, A, ai, k)
        if len(A) - ai == 0:
            return B[bi + k - 1]
        if k == 1:
            return min(A[ai], B[bi])

        #divide k into two parts
        k1 = min(k // 2, len(A) - ai)
        k2 = k - k1
        if A[ai + k1 - 1] < B[bi + k2 - 1]:
            return self.findKth(A, ai + k1, B, bi, k - k1)
        elif A[ai + k1 - 1] > B[bi + k2 - 1]:
            return self.findKth(A, ai, B, bi + k2, k - k2)
        else:
            return A[ai + k1 - 1]