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Unique Paths

描述​

A robot is located at the top-left corner of a m × n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a `3 × 7` grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

深搜​

// Unique Paths
// 深搜，小集合可以过，大集合会超时
// 时间复杂度O(n^4)，空间复杂度O(n)
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m < 1 || n < 1) return 0; // 终止条件

        if (m == 1 && n == 1) return 1; // 收敛条件

        return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
    }
}

备忘录法​

给前面的深搜，加个缓存，就可以过大集合了。即备忘录法。

// Unique Paths
// 深搜 + 缓存，即备忘录法
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n^2)
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // f[x][y] 表示 从(0,0)到(x,y)的路径条数
        f = new int[m][n];
        f[0][0] = 1;
        return dfs(m - 1, n - 1);
    }

    int dfs(int x, int y) {
        if (x < 0 || y < 0) return 0; // 数据非法，终止条件

        if (x == 0 && y == 0) return f[0][0]; // 回到起点，收敛条件

        if (f[x][y] > 0) {
            return f[x][y];
        } else {
            return f[x][y] = dfs(x - 1, y) +  dfs(x, y - 1);
        }
    }
    private int[][] f;  // 缓存
}

动规​

既然可以用备忘录法自顶向下解决，也一定可以用动规自底向上解决。

设状态为f[i][j]，表示从起点(1,1)到达(i,j)的路线条数，则状态转移方程为：

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]
// 动规，滚动数组
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] f = new int[n];
        f[0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // 左边的f[j]，表示更新后的f[j]，与公式中的f[i][j]对应
                // 右边的f[j]，表示老的f[j]，与公式中的f[i-1][j]对应
                f[j] = f[j] + f[j - 1];
            }
        }
        return f[n - 1];
    }
}

数学公式​

一个m行，n列的矩阵，机器人从左上走到右下总共需要的步数是m+n-2，其中向下走的步数是m-1，因此问题变成了在m+n-2个操作中，选择m–1个时间点向下走，选择方式有多少种。即 Cm+n−2m−1C_{m+n-2}^{m-1} 。

// Unique Paths
// 数学公式
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // max 可以防止n和k差距过大，从而防止combination()溢出
        return (int)combination(m+n-2, Math.max(m-1, n-1));
    }
    // 求阶乘, n!/(start-1)!，即 n*(n-1)...start，要求 n >= 1
    private static long factor(int n, int start) {
        long  ret = 1;
        for(int i = start; i <= n; ++i)
            ret *= i;
        return ret;
    }
    private static long factor(int n) {
        return factor(n, 1);
    }
    // 求组合数 C_n^k
    private static long combination(int n, int k) {
        // 常数优化
        if (k == 0) return 1;
        if (k == 1) return n;

        long ret = factor(n, k+1);
        ret /= factor(n - k);
        return ret;
    }
}

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