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Climbing Stairs

描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

分析

f(n)表示爬n阶楼梯的不同方法数,为了爬到第n阶楼梯,有两个选择:

  • 从第n-1阶前进 1 步;
  • 从第n-1阶前进 2 步;

因此,有f(n)=f(n-1)+f(n-2)

这是一个斐波那契数列。

方法 1,递归,太慢;方法 2,迭代。

方法 3,数学公式。斐波那契数列的通项公式为 an=15[(1+52)n(152)n]a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

代码

1. 动规

// Climbing Stairs
// Time Complexity: O(n)
// Space Complexity: O(n)
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}

2. 迭代

实际上我们不需要保存整个数组,只需要保存前两个元素即可。

// Climbing Stairs
// 迭代,时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int prev = 0;
int cur = 1;
for(int i = 1; i < n+1 ; ++i){
int tmp = cur;
cur += prev;
prev = tmp;
}
return cur;
}
};

3. 数学公式

这个方法最快,不过在面试中用不到,列在这里仅做参考。

// Climbing Stairs
// 数学公式,时间复杂度O(1),空间复杂度O(1)
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
final double s = Math.sqrt(5);
return (int)Math.floor((Math.pow((1+s)/2, n+1) +
Math.pow((1-s)/2, n+1))/s + 0.5);
}
};

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